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朱志宏 叶卫民 季家镕
（国防科技大学理学院光子声子研究中心，长沙，410073）
课题来源（基金资助）：973国家安全重大基础研究项目
摘要:将时域有限差分方法（FDTD）用于光子晶体缺陷模理论研究，计算了二维方型光子晶体TM模透射率频率分布；根据光子晶体的标度不变性特征，在微波频段制作了光子晶体，并设计了实验装置；实验结果与计算结果取得了一致；结果表明：有缺陷模产生，缺陷模的位置与缺陷的大小和种类有关。
关键词 光子晶体，光子禁带，时域有限差分，缺陷模
1 引言
在过去的几年中，光子晶体（photonic crystals）[1-2]因其具有控制光子的运动的能力而备受关注[3]。它其实可以理解为就是一种周期性电介质。在周期性电介质材料中，光的色散曲线明显地不同于均匀电介质中的光的色散曲线，其中存在类似于半导体禁带的“光子禁带”（photonic band gap）[4-5]；如果光的频率在禁带范围内，则它不能在介质中传播。光子晶体的非凡的本领正是由于这个禁带的存在。
当在光子晶体中引入点缺陷后，由于这些点缺陷对原有的空间对称性产生微扰，形成一个微腔，微腔有自己的共振频率，使得原来不透电磁波的禁带中出现了共振模,即某一波长的电磁波可以透过。本文将时域有限差分方法（FDTD）[6-7]作为光子晶体缺陷模理论研究的工具，以二维方型方型光子晶体TM模为研究对象，给出了一些模拟计算结果。FDTD方法能够很直观地给出精确的结果，因为它是直接对麦克斯韦方程进行离散处理，没有过多可能导致计算误差的假设，它能处理任意几何形状的光子晶体，它的另外一个优点是可以通过傅立叶变换，一次计算出包含很大频率范围的结果。我们还设计了实验，用FDTD方法得出的理论结果与实验一致。
２ 理论部分
２．１ 光子晶体中的麦克斯韦方程
光子晶体的理论研究问题，可以归结为光在光子晶体中的传播问题，于是可以由宏观麦克斯韦方程组来求解。
２．２ 时域有限差分方法
用FDTD方法求解上面的麦克斯韦方程组的具体方法是：将其在直角坐标系中展开成标量场分量的方程组，然后用二阶精度的数值差商代替微商，将连续的空间和时间问题离散化，得到标量场分量的差分方程组；由数值色散关系和我们所关心的光波长大小来确定空间离散步长的大小，进而用此空间步长将我们所要研究的光子晶体沿坐标轴向方向分成很多Yee氏网格单元；求出每一个网格点的有效介电常数；由空间步长和时间步长所满足的数值稳定性条件关系，得出相应的时间步长。
2．3 边界条件
我们用时域有限差分方法研究光子晶体的传输特性时，我们关心的计算区域是有限的，它就是光子晶体的体积所占有的空间；当然我们也可以将我们关心的计算区域通过一定的方式无限扩展，形成一个无限的空间，但是，计算机的存储空间和计算速度却不是无限的；所以，总之，我们要处理的问题空间是有限的，是有边界的。但是，用时域有限差分求解电磁场问题时假定问题空间是无限大的，即是开放的系统。这就产生了矛盾，为了解决这种矛盾，也就是为了让这种有限的空间和无限的空间等效，需要对有限空间的周围边界做特殊处理，使得向边界行进的波在边界处保持“外向行进”的特征，无明显的反射，就象被一个巨大的“黑洞”吸收一样。具有这种功能的边界条件，称之为吸收边界条件。在我们的计算程序中，由于是正入射，我们使用的是对正入射有较高精度的Mur二阶吸收边界条件[8]。
3 实验装置
为了验证二维光子晶体FDTD理论计算的结果，根据光子晶体的标度不变性特征，我们设计了如图2所示的微波实验装置，它由自动微波矢量网络分析仪HP8510C.07.00（ANA）、微波发射和接受天线以及实验平台组成。
4 结果与分析
用普通灯工二氧化硅玻璃圆柱作为实验样品，其相对介电常数为4.55，直径为 mm，用有机玻璃架固定在空气（相对介电常数为1.00）中，组成二维方形光子晶体样品，晶格常数为 mm。 图2.a所示的是二维线缺陷方型光子晶体，以TM模（电场方向平行于介质柱轴方向）为研究对象,当TM模脉冲源沿图中箭头位置和方向入射到光子晶体上时，光子晶体透射率频率分布的FDTD理论计算结果（不考虑色散）和实验结果如图2.b所示，从图2.b上可以看出，实验结果与理论结果相吻合，在5.2GHz处有缺陷模产生。
当TM模脉冲源沿图3中箭头位置和方向入射到光子晶体上时，光子晶体透射率频率分布的FDTD理论计算结果和实验结果如图4所示，从图4上也可以看出，实验结果与理论结果相吻合，在5.5GHz处有缺陷模产生。
当TM模脉冲源沿图5中箭头位置和方向入射到光子晶体上时，光子晶体透射率频率分布的FDTD理论计算结果如图6所示，理论结果表明，在6.35GHz处同样有缺陷模产生。
由上面的理论和实验结果可以得出结论：当在光子晶体中引入缺陷时，由于这些缺陷对原有的空间对称性产生微扰，在原来电磁波对光子晶体不透明的禁带中，会有缺陷模产生，缺陷模的位置与缺陷的大小和种类有关。
缺陷模的产生有现实的意义，比如可以实现光波的“上载”和“下载”，设计如图7所示的一个简单光子晶体结构，当宽频入射光（TM模）从如图7所示波导口入射时，得到波导出口处透射率频率分布如图8所示。 图8中的透射率频率分布曲线表明处于光子晶体禁带范围内的光能够沿着线缺陷形成的波导传播，同时由于波导与微腔的耦合，频率在6.35GHz处的光波能量被“下载”到了微腔里，被“下载”的光的频率正是点缺陷所形成的微腔的缺陷模频率6.35GHz（如图6所示）。设计不同结构的微腔，可以下载不同频率成分的波，图9中设计了一个包含有较强耦合作用的两个点缺陷的微腔，从图10可以看出，此结构能得到两个分别为 6.14GHz和6.5GHz的窄频信号。
结论
本文将时域有限差分法（FDTD）用于光子晶体缺陷模理论研究，计算了二维方型光子晶体的透射率频率分布，并设计了实验，实验结果与理论计算结果相一致：有缺陷模产生，缺陷模的位置与缺陷的大小和种类有关。缺陷模的产生有很重要的意义，例如可以实现光波的“上载”和“下载”等等。
参考文献
[1] E. Yablonovitch, "Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics," Phys. Rev. Lett.,1987, 58（20）:2059-2062.
[2] S. John, "Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices," Phys. Rev. Lett.,1987, 58(20):2486-2489.
[3] JD Joannopoulos, RD Meade, and JN Winn, Photonic Crystals: Molding the Flow of
Light(Princeton University Press, Princeton, NJ, 1995).
[4] JD Joannopoulos, PR Villeneuve and S. Fan, "Photonic Crystals: Putting a New Twist on Light," Nature,1997,386(6621):143-149.
[5] I.Abram and G.Bourdon, Photonic-well microcavities for spontaneous emission control, Phys. Rev. (A),1996,54(8):3476-3479.
[6] K. S. Yee, "Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell‘s Equations in Isotropic Media," IEEE Trans. Antennas Propagation, 1966,17(5):302-307.
[7] Zhu Zhihong,Ye Weiming et al.., Yang Miao et al.., the characteristic properties of transmission research of 2-D photonic crystals using the Finite-Difference Time-domain(FDTD) method,Acta Optica Sinica(光学学报),2003，23（5）：509-514(in Chinese).
[8] G. Mur, "Absorbing Boundary Conditions for the Finite-Difference Approximation of the Time Domain Electromagnetic Field Equations," IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility,1981,23(4):377-382.
research of photonic crystals defect modes
Zhu Zhihong Ye Weimin Yuan Xiaodong Wang Hua
(Research Center of Photon and Phonon, National University of Defense Technology,
Changsha 410073)
Abstract The Finite-Difference Time-domain(FDTD) method is used for research the defect modes photonic crystals. Transmitted power of 2-D square lattice photonic crystals TM mode are given of the applicability of the method. As scaling properties of photonic crystals, the photonic crystal behaving in the electromagnetic zones is fabricated and experimentation is designed. The theoretical results achieve confirmation of the experimentation. Results show that the frequencies of defect modes relate to size and kind of the defect.
Key words photonic crystals, photonic bandgap, the Finite-Difference Time-domain(FDTD)，defect modes
第一作者姓名：朱志宏，1978年1月出生，国防科技大学光学工程专业博士，通信地址：长沙国防科技大学光电学院博士生队朱志宏，邮编：410073
